Đối tác chiến lược ngành in bạt quảng cáo

in decal pp

Chung cư A1CT2 Tây Nam Linh Đàm | Chung cư B1B2 CT2 Tây Nam Linh Đàm | Chung cư D2CT2 Tây Nam Linh Đàm | Chung cư VP2VP4 Bán đảo linh đàm | Chung cư HUD3 Nguyễn Đức Cảnh | Chung cư New Skyline Văn Quán

Đối tác chiến lược ngành in bạt quảng cáo

in bạt hiflex - in decal ngoài trời - in băng rôn

Viện Bơm và Thiết bị thuỷ lợi

Đối tác chiến lược Tư vấn thiết kế nội thất

thiết kế nội thất văn phòng - thiết kế nội thất chung cư

Đệm | Đệm giá rẻ | Đệm lò xo | Đệm Sông Hồng | Đệm Sông Hồng | Đệm Everhome | Đệm mút | Đệm mút cứng | Đệm Queensweet | Đệm Liên á | Đệm Korea

Tổng quan phương trình tích phân
Thứ hai, 24 Tháng 12 2012 08:46

GS.Trần Văn Đắc ( Tổng hợp và giới thiệu)

I. Khái quát chung

Cơ sở tính toán của Newton và Leibnitz cho phép mô tả toán học của thế giới vật lý nhờ khả năng đưa các phép vi phân và tích phân vào các phương trình liên quan đến các tính chất khác nhau của thế giới này hay một thế giới khác. Nghĩa là nhiều lý thuyết mô tả thế giới mà ta đang sống chứa đựng trong những gì mà ta biết như các phương trình vi phân và tích phân. Những phương trình này không chỉ xuất hiện trong vật lý mà còn trong sinh học, xã hội học và tất trong tất cả các bộ môn khoa học muốn hiểu được thế giới quanh ta. Có vố số sách và lớp học chuyên nghiên cứu việc giải các phương trình như vậy và được nhiều nhà khoa học cũng như kĩ sư quan tâm. Một số bài toán (rất ít) có được lời giải dạng giải tích, thường gọi là “nghiệm đóng”, còn đa phần là không. Vì thế để tìm câu trả lời cho những bài toán, những vấn đề của thế giới xung quanh ta cần biết một số phương pháp cho nghiệm không chỉ ở dạng giải tích mà còn ở dạng số hay nửa giải tích, nửa số.

Rất may là toán học đã chỉ ra rằng, trong một số điều kiện nhất định các phương trình tích phận thuộc cùng phạm trù với các phương trình vi phân và các phương trình phiếm hàm. Điều này cho phép ta có thể sử dụng nhiều kết quả nghiên cứu của lĩnh vực này vào lĩnh vực kia. Có thể cảm nhận được điều này dù chưa cần đến một sự chứng minh, trên cơ sở ý nghĩa của các phép toán của chúng: vi phân là phép toán ngược với tích phân (đảo ngược của nhau); trên ý nghĩa của tích phân toán tử phiếm hàm thực chất là một loại. Ở đây cần nhấn mạnh rằng cả toán tử tích phân lẫn toán tử vi phân đều tuyến tính. Nói cách khác, Tích phân hay vi phân của một tổng là tổng các tích phân hay vi phân của các hạng thức trong tổng ấy.

Trong khuôn khổ của bài này phần phương trình tích phân sẽ được trình bày dưới dạng sơ lược, đủ để có thể hiểu được nội dung toán học của các bài toán trong lý thuyết cánh. Phần lớn các kiến thức được thể hiện trong các ví dụ cụ thể nhằm minh họa nội hàm lý thuyết và kỹ năng thao tác.

1.1. Phương trình tích phân

Định nghĩa. Trong toán học phương trình tích phân là một phương trình trong đó một hàm số chưa biết xuất hiện dưới/trong dấu tích phân.

Do các kỹ sư của chúng ta làm quen với phương trình vi phân nhiều hơn rất nhiều so với phương trình tích phân ở đây cần nhấn mạnh giữa phương trình tích phân và phương trình vi phân có mối quan hệ khăng khít. Trên thực tế điều đó có nghĩa là cùng một hiện tượng trong tự nhiên người ta có thể dùng một trong hai công cụ này để mô tả một cách chính xác.

Kiểu cơ bản nhất của phương trình tích phân là một phương trình Fredholm kiểu thứ nhất (kiểu một):

φ(x) = f(x) + λint{a}{b}{K(x,t)}φ(t)dt

trong đó λ là một hệ số chưa biết, giữ vai trò như là giá trị riêng trong đại số tuyến tính (như trong phép biến đổi trục tọa độ).

Nếu một giới hạn của phép tích phân là chưa biết, đó là phương trình Volterra. Như vậy tương ứng ta có phương trình Volterra kiểu một

f(x) = int{a}{x}{K(x,t)}φ(t)dt

và phương trình Volterra kiểu hai

φ(x) = f(x) + λint{a}{x}{K(x,t)}φ(t)dt

Trong tất cả các phương trình trên nếu hàm đã biết ƒ đồng nhất bằng không, phương trình là thuần nhất và khi f khác không, phương trình là không thuần nhất.

1.2. Phân loại

Người ta phân loại các phương trìng tích phân theo ba lưỡng phân khác nhau, được tám loại khác nhau:

Lưỡng phân thứ nhất: các giới hạn tích phân

Tất cả cố định: Phương trình Fredholm

Một giới hạn biến đổi: Phương trình Volterra

Lưỡng phân thứ hai: vị trí xuất hiện của hàm chưa biết

Chỉ trong dấu tích phân: kiểu một

Cả trong lẫn ngoài dấu tích phân: kiểu hai

Lưỡng phân thứ ba: bản chất của hàm đã biết ƒ

Đồng nhất bằng không: thuần nhất

Không đồng nhất bằng không: không thuần mhất.

Cả phương trình Fredholm lẫn phương trình Volterra đều là các phương trình tuyến tính do dáng điệu tuyến tính của hàm φ(x) trong dấu tích phân

Các phương trình tích phân có một vai trò quan trọng trong vật lý và trong các bài toán kĩ thuật như bài toán chảy bao cánh và dãy cánh, truyền năng lượng bức xạ, dao động của dây, trục và màng mỏng, … Các bài toán dao động cũng có thể giải bằng phương trình vi phân.

Một phương trình Volterra phi tuyến có dạng chung như sau

φ(x) = f(x) + λint{a}{x}{K(x,t)}F(x,t,φ(t))dt

Các phương trình tích phân như là trường hợp chung của các phương trình giá trị riêng. Thực vậy, một số các phương trình tích phân thuần nhất như là một continum giới hạn của các phương trình giá trị riêng. Bằng cách dùng ký hiệu chỉ số một phương trình giá trị riêng có thể viết dưới dạng

sum{j}{}{M}i,jνj =λνj

trong đó M là một ma trận, v là một trong các vectơ riêng của nó và λ là giá trị riêng đi kèm. Lấy giới hạn continum (J → ∞, sum{j}{}{}int{}{}{}), bằng cách thay thế các chỉ số i và j bởi các biến liên tục x và y, được

int{}{}{dyK(x,y){varphi}(x)} = {lambda}{varphi}(x)

trong đó phép tổng theo j được thay thế bằng tích phân theo y và ma trận Mi,j và vectơ νi được thay thế bằng “hàm nhân” K(x,y) và hàm giá trị riêng φ(y). Các giới hạn của tích phân là cố định, tương tự như các giới hạn trong phép lấy tổng theo j. Kết quả này cho ta một phương trình Fredholm thuần nhất tuyến tính kiểu hai.

Chung ra, K(x,y) có thể là một phân bố hơn là một một hàm theo nghĩa hẹp. Nếu phân bố K chỉ có giá đỡ tại điểm x = y thì phương trình quy về một phương trình vi phân hàm giá trị riêng

2. Ví dụ minh họa

Để làm quen với các dạng phương trình tích phân thường gặp trong thực tiễn phần  dưới  đây nêu một số ví dụ cụ thể

2.1. Phương trình tích phân Fredholm lọai một

2.1.1. Phương trình tích phân Fredholm lọai một với nhân chứa các hàm lũy thừa

2.1. Phương trình Fredholm loại 2

2.2.1. Phương trình Fredholm loại hai với nhân chứa các hàm lũy thừa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.1.3. Phương trình Fredholm loại hai với nhân có các hàm tùy ý

(A, a, b, λ là các hằng số).

Kết luận. Giới thiệu sơ lược trên đây nhằm bổ sung những thiếu hụt trong kiến thức ban đầu, trước hết trong chương trình đào tạo các kí sư ngành Máy & Tự động thủy khí trong việc đọc các tài liệu cơ sở hay chuyên ngành ở trình độ cao của mình.

Trong khuôn khổ trang mạng của viên Bơm và Thiết bị thủy lợi, trong một bài khác, chúng tôi sẽ giới thiệu một số phương pháp giải của một số bài toán điển hình với mục đích hỗ trợ cho bạn đọc khi đề cập hoặc gặp chúng trong nghiên cứu lý thuyết hay áp dụng nó như một công cụ không thể thiếu./. (GS. Trần Văn Đắc)

 





 


 


 

 

You are here  : Home Kiến thức cơ sở Tổng quan phương trình tích phân
Đối tác chiến lược bất động sản,chung cư đang mở bán HOT:

chung cư 89 phùng hưng - chung cu mỹ sơn tower - chung cư văn phú